Sannolikhetsberäkning pilkastning, träffa bullseye 3 gånger i rad.

Jag använder notationen att S(n) är sannolikheten att någon gång få tre bullseye i rad om man kastar n pilar.

Om man har n pilar och missar en, så är nu sannolikheten S(n-1). Sannolikheten att missa var 99/100.

Man kan träffa en gång, och missa. Då har man kastat två pilar, och sannolikheten är nu S(n-2). Sannolikheten för att det skulle bli så här är 1/100*99/100 = 99/100^2

Man kan träffa två gånger, och missa. Då har man kastat tre pilar, och sannolikheten är nu S(n-3). Sannolikheten för att det skulle bli så här är 1/100*1/100*99/100 = 99/100^3

Till sist har man att man kan får tre träffar idag, Sannolikheten för det är 1/100^3.

Så man får den rekursiva formeln
S(n) = 99/100*S(n-1) + 99/100^2*S(n-2) + 99/100^3*S(n-3) + 1/100^3

Om man har mindre än 3 pilar så är så klart Sannolikheten 0, så
S(2)=S(1)=S(0)=0.
Med det och den rekursiva formeln kan man räkna ut S(3), och sen S(4), osv till S(100), dvs det vi vill räkna ut.

Jag gjorde en matris som uppdaterar en vektor
{{S(n)},{S(n-1)},{S(n-2)},{1}}
till
{{S(n+1)},{S(n)},{S(n-1)},{1}}
Den ser ut så här
{{99/100, 99/100^2, 99/100^3, 1/100^3}, {1,0,0,0}, {0,1,0,0}, {0, 0, 0, 1}}

Jag börjar med vektorn {{S(2)},{S(1)},{S(0)},{1}} = {{0},{0},{0},{1}}
Och applicerar uppdateringsmatrisen 98 ggr (så att första elementet i vektorn är S(100).
Slutligen plockar jag ut S(100) värdet med att multiplicera framifrån med {1, 0, 0, 0}
https://www.wolframalpha.com/input?i...D%2C%7B1%7D%7D

Resultatet blir (9702562304478793706717773816521893264019202388860 85557891772294825795050615274640539596239874704085 47126773882896359199840169254903651501707326904408 17355304153317563586624858364741836236691004999/10000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000 0)
Eller ungefär
0.0000970256

Så det är sannolikheten att någon gång få tre bullseye i rad med 100 pilar om det är 1/100 att träffa varje kast.

Eller är det så enkelt att man har 97 chanser att träffa med den första pilen? Sedan är det ju omöjligt att få tre i rad.

Så: 97*(1/100)*(1/100)*(1/100) = 0.000097

Vilket ju är mer eller mindre samma svar som du räknade fram.

Även om du missar 97:e, så kan du träffa 98:e, och vinna (med pil 98, 99 och 100).
Så då borde ha 98*(1/100)*(1/100)*(1/100) = 0.000098

Din lösning tar inte hänsyn till att du dubbelräknar gånger då man skulle få tre träffar i rad fler en en gång på hundra kast. Känns också som man skulle dubbelräkna de gånger det blir fyra träffar i rad.

Att det är så lika svar beror på att det är osannolikt att dubbelräkna, för att sannolikheten för träff är liten. Om vi ändrar sannolikheten till 50/50, så får jag svaret
(1267318799554307616411887824515/1267650600228229401496703205376) = 0.999738
Medan din metod ger ett svar mycket större än 1, vilket är err nonsens svar.

men pilen har ju inget minne. borde inte oddsen va samma på alla pilar? :P dvs 1/100 oavsett om den förra pilen va bullseye eller inte

Även om du missar 97:e, så kan du träffa 98:e, och vinna (med pil 98, 99 och 100).
Så då borde ha 98*(1/100)*(1/100)*(1/100) = 0.000098

Din lösning tar inte hänsyn till att du dubbelräknar gånger då man skulle få tre träffar i rad fler en en gång på hundra kast. Känns också som man skulle dubbelräkna de gånger det blir fyra träffar i rad.

Att det är så lika svar beror på att det är osannolikt att dubbelräkna, för att sannolikheten för träff är liten. Om vi ändrar sannolikheten till 50/50, så får jag svaret
(1267318799554307616411887824515/1267650600228229401496703205376) = 0.999738
Medan din metod ger ett svar mycket större än 1, vilket är err nonsens svar.