Hur vet jag om en vektor ligger mellan två vektorer? Linjär algebra

Nja, det villkoret visar bara att u ligger i det plan som spänns upp av v och w.

I t ex 3D skulle man kunna ha
v = (1,0,0)
w = (0,1,0)
och
u = (3,4,0)
vilket ger att
u = 3 v + 4 w
Alla dessa punkter ligger i x-y-planet men INTE på samma räta linje.

--
Däremot funkar det om du lägger till villkoret
a + b = 1
och utan krav på att båda måste vara positiva. Vi har ju då att
u = a v + (1 - a) w = w + a ( v - w )
där a då fungerar som en parameter för linjen, a=0 ger punkten w, v-w är linjens riktning, och a=1 ger punkten v.

---
u och v och w ligger alltså på samma räta linje om man kan hitta något a som samtidigt uppfyller de n ekvationerna (i n dimensioner!)
u = w + a ( v - w )

För att kolla detta kan man lösa för a i EN av koordinaterna, t ex för x, och sen helt enkelt kolla om samma a funkar för alla övriga koordinater.

--

Det finns dock snyggare sätt. Återkommer.

Som uppvärmning kan vi betrakta de 2 och 3-dimensionella fallen där kryssprodukt fungerar.

Vikoret för att u, v och w ska ligga på samma räta linje är att
u - v
och
u - w
ska vara parallella.

Med kryssprodukt uttrycks detta villkor som
0 = (u - v) × (u - w)
dvs
0 = u × u - u × w - v × u + v × w .
Och eftersom u×u=0 för alla u, och att kryssprodukt är antisymmetrisk, så kan detta skrivas om till

w × u + u × v + v × w = 0 .

Beräkna alltså uttrycket i vänsterledet. Om det blir 0 i alla koordinater, så ligger punkterna på samma linje.

---

Men i 4D eller högre då, där kryssprodukt inte är definierad? Det går det med på ett väldigt liknande sätt, men det kräver lite mer teori om yttre produkt eller s k wedge product.

Det bör vara ekvivalent med Tjuren-Ferdinands tolkning av området "mellan" två vektorer. Trådstartaren förklarade aldrig vad han menade.

Ok, förivrade mig nog lite där.

Det är alltså isf som om man från jorden ser tre stjärnor u, v och w, och att u ser ut att ligga på samma linje som v och w. Dock kanske v och w ligger t ex 10 ljusår ifrån oss, medan u är 1000 ljusår bort, så vad då "mellan"? Men ok, det ser ju iaf ut så från jorden.

Om man tänker sig R^3 och betraktar tre vektorer, u,v,w i x-y planet. Där finns det ett naturligt begrepp av att en vektor ligger emellan två andra. Här borde kryssprodukten kunna avgöra om så är fallet.
Om uxv och uxw pekar åt olika håll så ligger u mellan v och w. Kanske det går att generalisera detta till R^n mha wedgeprodukt?

Man kan väl räkna kryssprodukten mellan två av vektorerna, för att sedan räkna ut skalärprodukten mellan normalvektorn från de två andra vektorerna och den tredje vektorn.

Då har du en vinkel som visar hur stor vinkel den har upp eller ner ifrån de två andra.

Eller tänker jag fel här?

Determinanten av de tre vektorerna visar ifall de spänner upp ett rum, det antar jag att du har börjat med att testa?

"Kryssproduken" är väl inte definierad i R^N, där får du använda någon generaliserad form som kilprodukten, och jag är inte nog hemmastadd i det N-dimensionella rummet för att på rak arm avgöra när tre vektorer i R^N är koplanära! Men säkerligen finns ett enkelt trick, förmodligen baserat på linjärt beroende/oberoende hos de tre vektorerna!