Härledning väteatomens energinivåer

Hjääälp!!!

Uppgiften är att härleda formeln för väteatomens energinivåer för huvudkvanttalet n.

Utgå från Coulombs lag och anta att elektronen rör sig i en cirkulär bana runt protonen.

Tips: utnyttja det kvantmekaniska sambandet att elektronbanans längd måste motsvara ett helt antal de Broglie-våglängder.

Det är egentligen inte så svårt, men ändå rätt meckigt. Finns i en massa böcker ock säkert även på nätet.

Vi behöver de följande punkterna:

1. Helt antal våglängder = ett varv med radien r:
nλ = 2πr
där n är heltalet.

2. Enligt de Broglie har vi att
λ = h/(mv)
där h=Plancks konstant, m=elektronmassan, v=hastigheten.

3. Coulombs lag för kraften mellan elektron och proton:
F = ke²/r²
där k=Coulombs konstant, e=elektronladdningen.

4. Centripetalkraften som F ovan ger i den cirkulära banan:
F = mv²/r

5. Elektronens elektriska lägesenergi Ep, definierad så att den elektriska kraften är dess derivata, och med nollenergin för oändligt r:
Ep = -ke²/r

6. Rörelseenergin:
Ek = mv²/2

7. Total energi:
E = Ek + Ep

Problemet har 7 ekvationer, och 7 okända: λ, r, v, F, Ep, Ek, E, och kan alltså lösas. n är inte obekant enligt modellen utan ett heltal som vi kan välja. Varje energinivå kommer motsvara ett n. Eliminerar vi variablerna en och en så kan vi så småningom komma fram till följande lösning för E:

E = - m(ke²)²/(2ħ²n²)

Hur man gör detta kan man t ex se här:
https://en.wikipedia.org/wiki/Bohr_model
men det är mycket text...

I spoilern mitt förslag:

-----

Att detta faktiskt ger rätt energinivåer är ett jämrans mirakel. En elektron uppför sig inte alls enligt ovanstående, dvs som en stående våg längs en cirkelbana. Istället är den en stående våg i full 3D, med s k orbitaler, och man behöver hela Schrödingerekvationen för att lösa för kvantnivåerna.