Vektorvärda funktioner

hej,

Jag har fastnat på några uppgifter som handlar om vektorvärda funktioner i en variabel. Tycker inte min bok illustrerar tillräckligt hur man ska lösa dom, så det är där det problet sitter. hur gör jag ?

Har hållt på fram och tillbaka men inte kommit någonstans, så det vore trevligt att få en hint om hur jag tacklar problemet, och kanske till och med en hel lösning om någon trevlig själ orkar det

Här är problemen jag sitter med nu:

Problem 1

A point P moves along the curve of intersection of the cylinder z=x^2 and the plane x+y=2 in the direction of increasing y with constant speed v=3. Find the velocity of P when it's at (1,1,1).


Problem 2

A particle moves along the curve r=3ui+3u^2j+2u^3k in the direction corresponding to increasing u and with a constans speed of 6. Find the velocity and acceleration of the particle when it is at the point (3,3,2).


tack på förhand

/ Nickel

Det där är väl ingen cylinder?

Jo, det kallas en parabolisk cylinder. Lite otrevlig beteckning, tycker jag, men det förekommer.

Så här tänker jag att man kan göra. Längs kurvan kan man se z och y som funktioner av x. Alltså z = x² och y = 2 - x. Det är nu naturligt att parametrisera kurvan med en parameter t enligt x = -t, y = 2 + t och z = t². En tangentvektor får du genom att derivera (x, y, z) med avseende på t. Sätt in x = 1, y = 1 och z = 1 i denna tangentvektor och normera den så att dess längd blir 3 (vilket är farten enligt uppgiften) så har du den sökta hastighetsvektorn.

Tack för tipset bromskloss! Ettan är nu löst, men tvåan går jag bet på

Parametern u är en funktion av tiden t: u = u(t).

Hastigheten v = dr/dt = 3u'i + 6uu'j + 6u²u'k
= 3 u' (i + 2uj + 2u²k).

Farten v = |dr/dt| = 3 |u'| √(1² + (2u)² + (2u²)²) = 3 |u'| √(1 + 4u² + 4u^4) = 3 |u'| (1 + 2u²).

Nu vet vi att 6 = v = 3 |u'| (1 + 2u²), vilket ger |u'| = 2/(1 + 2u²) dvs u' = ±2/(1 + 2u²).

Eftersom partikeln rör sig i riktning mot växande u, gäller plustecken, så vi har u' = 2/(1 + 2u²).

Punkten P = (3, 3, 2) svarar mot u = 1. Där får vi u' = 2/(1 + 2*1²) = 2/3.

Hastigheten i P blir v(1) = 3 * 2/3 * (i + 2*1j + 2*1²k)
= 2i + 4j + 4k

Accelerationen a = v'
= 3 u'' (i + 2uj + 2u²k) + 3 u' (0i + 2j + 4uk)

Vi måste alltså ta reda på u'':
u'' = (2/(1 + 2u²))' = 2(4uu')/(1 + 2u²)² = 8uu'/(1 + 2u²)² = 8u * 2/(1 + 2u²) * 1/(1 + 2u²)²
= 16u/(1 + 2u²)³.

I punkten P blir u'' = 16*1/(1 + 2*1²)³ = 16/27.

Nu kan vi beräkna accelerationen i P:
a(1) = 3 * 16/27 * (i + 2*1j + 2*1²k) + 3 * 2/3 * (0i + 2j + 4*1k)
= 16/9 * (i + 2j + 2k) + 2 (0i + 2j + 4k)
= (16/9 + 2*0) i + (16/9*2 + 2*2)j + (16/9*2 + 2*4)k
= (16/9) i + (68/9)j + (104/9)k

Gött Manne !

Jag vet att detta är en gammal tråd. Men varför blir x= - t och inte x = t. Alltså varför är t negativ

På grund av "A point P moves /.../ in the direction of increasing y" är det naturligast att se till att dy/dt > 0. För det krävs dx/dt < 0 eftersom x + y = 2 längs kurvan.

Sorry om jag bumpar denna tråd efter så många år, men rätt svar ska vara: a(1) = -8/9(2i + j - 2k)

Hittar du var jag har gjort fel?

Du missade ett minustecken vid derivering av u'', alltså ex. (1/x)' = (x^(-1))' = -1*x^(-2) = -1/x^2