Moduloräkning

Jag förstår verkligen inte detta. Kan någon förklara för mig hur det egentligen funkar? Jag förstår t.ex att om man räknar veckodagar så finns det ju bara 7 dagar på en vecka, så den 8e dagen är densamma som den första.

Men hur löser man t.ex ett tal?
T.ex För vilka heltal är x^7 + x^3 + 2x^2 + 4 delbart med 7? Svar: _____(mod 7)

Eller liknande tal...

du har en konstant växande funktion som går mot oändligheten. den har alltså oändligt många världen som ger en division jämnt med 7. Så finns nog ingen direkt lösning för det där.
Edit: däremot kan du kolla enskilda tal samt bevisa om ett polynom är jämnt deltal för en serie av tal med hjälp av induktion. tex kan du visa att tex 11^k +4 är delbart med 5 för alla heltal större än 1 med hjälp av induktion.

Okej, men t.ex hur gör jag om jag vill veta vad det är för tid om 243 timmar? Eller vad det är för veckodag om 2^100 dagar?

Tid om 243h? Om klockan är 18:00 (vilket den ungefär är), så om 243h så har vi 243 = 24*10 + 3, vi tar alltså tio hela dygn framåt och tre timmar till. Så det är tisdag 12:e februari och klockan är då strax efter nio.

Veckodag om 2^100 dagar? Vi har att 2^100 = (2^3)^33*2 = 8^33*2, men 8 kan vi skriva som (7 + 1) så 8^33 = (7 + 1)^33 = 7n + 1 där n är ett heltal, vilket ger 2*(7n + 1) = 14n + 2, vi går alltså två dagar framåt och det är torsdag 4:e februari.

Det kan väl inte stämma. 2^100 dagar är ju mer än 2 dagar. Så det kan inte bli torsdag den 4e februari?
Vart får du 2*(7n + 1) ifrån? Och kan man bara skita i upphöjt till 33?

Ja, 2^100 är mer än 2 dagar (så det blir inte 4:e februari!). Men om vi går antalet veckor framåt så visar jag att vi går 14n + 2 dagar framåt där n är ett heltal, säg att n = 2 (det är större här!) då går vi 16 dagar framåt, alltså två veckordagar framåt.

2*(7n + 1) ifrån?

2^100 = 2^99*2^1 = (2^3)^33*2

Men 2^3 = 8 = (7 + 1), så om vi tar

(7 + 1)^33 så är det lika med 7n + 1 för något n, varför? Jo, eftersom om vi tar ett tal på formen 7a + 1 och multiplicerar med ett tal på formen 7b + 1 så är det fortfarande på formen 7c + 1, dvs:

(7a + 1)(7b + 1) = 49ab + 7a + 7b + 1 = 7*(7ab + a + b) + 1 som är på formen 7c + 1 där c = 7ab + a + b, man kan alltså säga att om två tal är på formen 7a + 1 respektive 7b + 1 så är deras produkt på formen 7c + 1. Upprepar man detta resonomang flera gånger så får man att

(7 + 1)^33 är på formen 7n + 1 där n är ett heltal. Detta är för att 7 + 1 är på formen 7a + 1 och vi visade att om man multiplicerade sådana tal med sig själv så var även svaret på den formen!

Så då får man att 2^100 kan skrivas på formen 2*(7n + 1) där n är något heltal, som är 14n + 2, alltså går vi 14n veckor framåt (som inte ändrar veckodag!) och sen två dagar framåt (som ändrar veckodag!)

Eftersom modulo i viss mening är både additiv och multiplikativ, behöver du bara göra en tabell för x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, alternativt x = 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3.

Sätt p(x) = x^7 + x^3 + 2x^2 + 4.
För x = 0 får vi p(x) = 4, som ej delas av 7.
För x = 1 får vi p(x) = 8, som ej delas av 7.
För x = -1 får vi p(x) = 4, som ej delas av 7.
För x = 2 får vi p(x) = 148, som ej delas av 7.
För x = -2 får vi p(x) = -124, som ej delas av 7.
För x = 3 får vi p(x) = 2236, som ej delas av 7.
För x = -3 får vi p(x) = -2192, som ej delas av 7.
Därför delas p(x) inte av 7 för något heltal x.

Om jag försöker härma dig med mitt tal "För vilka heltal är x^2-1 delbart med 8?"

gör en tabell:

x=1 går inte
x=2 går inte
x=3 går
x=4 går inte
x=5 går
x=7 går osv.. men så här kan man ju sitta och hela på hela tiden till oändligheten.

MEN, då har jag fått den här informationen, som jag tycker är lite svår att tyda "Svaret ska vara på formen av växande minsta naturliga tal (t ex 0,1,2,3,4) utan mellanslag och innehåller det minimala antalet lösningar (mod 8). Lämna rutan tom om det inte finns något heltal. Observera (mod 8) efter svarsrutan. Detta innebär att vi inte behöver fylla i oändligt många lösningar."

- Vad menas? När ska man sluta? svårt tolkad.

Du verkar ha missat själva kärnan: du behöver bara testa ett element från varje restklass. Med andra ord räcker det med att testa alla tal 0, 1, 2, ..., 7 (när vi räknar mod 8). 8 har samma rest vid division med 8 som 0, alltså har vi redan testat fallet 8 när vi testade 0. 9 har samma rest som 1, och så vidare.

Har du noll koll rekommenderas wikipedia.

Manne utnyttjade ett smart trick när han valde vilka element han skulle testa, nämligen att testa det element med lägst belopp i varje restklass. På så sätt blir det lite enklare när man ska evaluera potenser.

ok: jag har bara svårt att tyda själva texten. Det ska skrivas in på det här: http://imgi.se/image.php?di=FQ06 !("/!/")(!" latex

Enligt dina egna beräkningar är svaret 3 och 5, inte 3 och 7. Det är ingen vedertagen notation som verkar användas, men jag skulle skippa parenteserna.

Jag håller med om att parenteserna nog inte ska vara där.