Har ett underrum alltid färre antal dimensioner än det större rummet?

De enda underrum som jag kan föreställa inom Linjär Algebra är rum som existerar i ett lägre antal dimensioner - exempelvis en linje i ℝ², eller ett plan i ℝ³.
Men kan ett underrum också existera med samma antal dimensioner som det större rummet, eller rentav fler dimensioner?
Jag har lite svårt att föreställa mig den typen av underrum, eftersom det verkar helt omöjligt att få såna rum att uppfylla de där kraven "Closed under addition" och "Closed under multiplication";
jag menar, om underrummet har samma antal kolumner som det större rummet så kan man väl alltid addera de vektorerna på hur många olika sätt som helst och komma vart man vill i det större rummet?

Säg att du har ett vektorrum W i R^n som består av n vektorer


Och sedan har du ett vektorrum V som är ett underrum till W som består av n vektorer i R^n


Då märker du ganska snabbt att W = V, de spänns bara upp av olika basvektorer.

Angående fler dimensioner i underrummet.
Ifall vi har ett vektorrum W som är en linje i R^3, och ett underrum V som är hela R^3. Då är det lämpligare att bara vända på det och säga att hela V i R^3 är vektorrummet och linjen är ett underrum.

Precis som "A är en delmängd av B" tillåter att A och B är samma mängd, så tillåter "A är ett delrum av B" att A och B är samma rum.

Om vi arbetar med rum av oändlig dimension kan ett äkta delrum ha lika många dimensioner som hela rummet av samma anledning som mängden { 5, 6, 7, ... } har lika många element som mängden { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... }.