Beräkna ngt komplex tal ;p

Hoho!

Jag fattar ingenting av det här talet:

0,5+ i ((√3)/2)^100. Att cos (pi/3 = 1/2 och sin=pi/3) = √3/2 är användbart.

jag och enligt facit så är det det rätta svaret -0,5 - (i√3 /2)

så svaret måste ju söjert vara ganska simpelt. Ngn som kan visa verbalt och i siffror vad som menas?

Ska det inte vara (1/2 + i(√3)/2)^100 ?

I så fall gäller
1/2 + i(√3)/2 = cos(pi/3) + i sin(pi/3)
så
(1/2 + i(√3)/2)^100 = cos(100 pi/3) + i sin(100 pi/3) = cos(32pi + pi + pi/3) + i sin(32pi + pi + pi/3)
= (-cos(pi/3)) + i (-sin(pi/3)) = - (cos(pi/3) + i sin(pi/3)) = - (1/2 + i(√3)/2)

Jag tvivlar rätt starkt på att du skrivit av uppgiften rätt.

Jo ni har så rätt sorry!

visste ni att det skulle bli sin (pi/3) och (cos pi/3) ? eller fick ni reda på det för det stod med i texten (syftar på om man kan räkna den utan att behöva veta det info't)

Det man gör är att först göra om till trigonometrisk form. Ett tal på formen z=a+bi kan alltid skrivas om på formen r(cos v, i*sin v). Det är lätt att göra.

r=sqrt(a²+b²)
v=arctan(b/a) (Om a>0. I fallet a=0 eller a<0 får man tänka lite till)

I ditt fall blir det så här:

z=0.5+i*(√3)/2
r=sqrt(0.5²+((√3)/2)²)=sqrt(0.25+3/4)=sqrt 1=1
v=arctan(((√3)/2)/0.5)=arctan √3=pi/3

z=1*(cos pi/3 + i*sin pi/3)

Nu använder vi bara de Moivres formel:

(r(cos v + i*sin v))^n=r^n(cos nv + i*sin nv)

I ditt fall:

(1*(cos pi/3 + i*sin pi/3))¹⁰⁰=1¹⁰⁰*(cos 100pi/3 + i*sin 100pi/3)=cos 100pi/3 + i*sin 100pi/3

Standardvärden som man bör känna till:
sin 0 = 0
sin (pi/6) = 1/2
sin (pi/4) = 1/√2
sin (pi/3) = (√3)/2
sin (pi/2) = 1

cos 0 = 1
cos (pi/6) = (√3)/2
cos (pi/4) = 1/√2
cos (pi/3) = 1/2
cos (pi/2) = 0

Värden såsom cos(5pi/3) kan härledas ur ovanstående genom att nyttja symmetrier hos sin och cos.

Jag insåg just att du gjorde vad jag inte gjorde, dvs svara på den faktiska frågan.