Transformteori: Heaviside stegfunktion

Jag läser transformteori på distans och det är en sak som jag inte riktigt begriper hur man gör..

Detta är en del av en uppgift som går ut på att man ska lösa en differentialekvation med laplace transform och den biten är inga större problem, förutom högerledet då..

Ekvationen är: y'' + y' = r(t) där y(0) = 0 & y'(0) = 0
Det är högerledet som jag har problem med att laplace transformera. Jag länkar två bilder som visar det, för mig, obegripliga.

Bild 1:
http://i62.tinypic.com/j7422x.jpg
Visar själva uppgiften. Ingångsdata eller vad man ska kalla det..

Bild 2, från lösningen:
http://i57.tinypic.com/1zgak2v.jpg
Det har alltså skrivit om högerledet, r(t), till det i bild 2. Därefter kommer laplace transformeringen.

Är det någon som kan förklara hur man gör om bild 1 till det i bild 2?
Tack på förhand!

Frågan är alltså hur man uttrycker r(t) i termer av u(t)?

Heavisidefunktionen är = 1 om argumentet är >0, och = 0 för övriga argument. Alltså är u(t-1)=1 för t>1 eftersom att t-1>0 för t>1. u(t-1) är alltså den vanliga heavisidefunktionen förskjuten i t-led 1 steg.
u(t-2) är följaktligen förskjuten två steg.

Kombinerar man dessa två kan man skapa det intervall som r(t) är skiljt från 0 i.
u(t-1)-u(t-2)
För t<1 är båda termerna = 0, vilket ger 0-0=0.
För t>2 är båda termerna = 1 vilket ger 1-1=0.
För 1<t<2 är endast u(t-1)=1, medan u(t-2)=0 vilket ger 1-0=0.

Sedan kan man multiplicera med en skalär för att ändra funktionsvärdet i intervallet.

Jag är fortfarande inte riktigt med på varför det skall vara just u(t-1)-u(t-2).. Om man enbart ser på bild 1 vad kan man då konstatera?

Att funktionen är konstant 2 på intervallet ]1,2[, och 0 för alla andra t. Detta kan man modellera med två heavisidefunktioner precis som jag visade.

Så om intervallet hade varit t.ex: 5 för 2<t<4

Så skulle heavisidefunktionen varit 5[u(t-2)-u(t-4)] ?

Yes

1, t<1
2, 1<t<2
0, t>2

Om man spökar till det lite mer, vad händer då? Gör "1, t<1" någon inverkan på heavisidefunktionen?

Ja du kommer behöva fler termer om du ska skriva det där i termer av heavisidefunktionen.
Till exempel kan vi utöka r(t) från orginaluppgiften och lägga på en term för 1, t<1.
Borde bli:
2[u(t-1)-u(t-2)]+u(1-t)

Jag tror jag kan fixa detta nu. Känner mig inte helt bekväm med heavisidefunktioner, men jag tror jag klarar av en tentafråga gällande detta åtminstone! Tack för hjälpen!