Sannolikhetslära: diskreta stokastiska variabler

Den diskreta stokastiska variabeln X kan bara anta heltalsvärdena 0,1,2..
P(X = k) = p^k, k=1,2,3,..

a) Vad är P(X = 0)?
b) Vilka värden på p är möjliga?

Jag har några frågor:

1. Det står ju att X = k, så varför kan X anta 0, men inte k?

2. Hur löser man uppgiften?

Har förstått att det är något i stil med t+p^2+p^3...=1

Men jag vet inte riktigt hur jag ska fortsätta... och vad är t?

1. Det står ju att X = k, så varför kan X anta 0, men inte k?
för att p^0=1 för alla p

P(X>0)=P(X=1)+P(X=2)+... = sum(p^k) över k>=1 dvs, k>0

p kan ha dom värdena för villket summan ovan konvergerar. du får lista ut det.

P(X=0) + P(X>0) = 1 så, P(x=0) = 1 - P(X>0)

P(x=0) = 1 - P(X>0) kan jag hålla med om!

men i facit står det: P(x=0) =(1-2p)/(1-p), hur får dom fram det?

Testa ta P(X=0)=1-P(X≠0), där P(X≠0) blir en geometrisk serie.

P(X≠0)=sum(1 till ∞) av p^k, men vi har att sum(0 till ∞) av p^k = 1/1-p (observera att vi summerar ifrån 0 här).

Därför måste vi fixa till det understrukna så resultatet blir en serie ifrån 1 till ∞.

Vi får då: sum(1 till ∞) av p^k = (sum(0 till ∞) av p^k) - p^0 <-- Vi både lägger till och tar bort termen p^0.

Skriv om detta till: (1/1-p)+p^0 = (1/1-p)+1 = p/1-p
Detta är alltså P(X>0).

Då fås P(X=0)=1-P(X>0) = 1 - (p/1-p)=(1-2p)/(1-p)

Nu känns det som jag missat något väldigt grundläggande... men hur kan sum(0 till ∞) av p^k = 1/1-p

Detta gäller då |p|<1. Vi har att en geometrisk summa är: sum(m till n) av p^k = (p^(n+1)-p^m)/(p-1).

Ovan har vi att m=0 och att n->∞ och då får vi att den geometriska summan blir:
lim(n->∞) (p^(n+1)-p^0)/(p-1)=(0-1)/(p-1)=1/(1-p).

Mer finns här.