Variabelsubstitution

God kväll, sitter och jobbar med integraler och har lyckats lösa en uppgift genom att "följa receptet" men utan att egentligen förstå varför man kan göra som man gör. Har förstått att variabelsubstitution kan bidra till att lösa bland annat integraler. Om jag har följande integral:

int((x^2)*sin(x^3)dx) så har jag satt u=(x^3). (du/dx)=(3x^2) och därmed dx=du/(3x^2) får då:
int((x^2)*sin(u)du/(3x^2))= (1/3)*int(sin(u)du). härifrån blir det genast mycket enklare. Min fråga är då, kan jag tänka så? och varför funkar det?

du slipper tänka på den inre derivatan (när du sätter den till x^3=u är den inre derivatan 1 med respekt till u)

lättare att integrera om du blir av med den inre derivatan

Det är rätt tänkt.
Beviset finns säkert i din lärobok, eller här.

Du byter enhet, från cm till tum. Något kan vara 10 tum, ett jämnt och enkelt tal. I cm blir det annat. Ett annat sätt att tänka. En trappa har 12 trappsteg. Om du tar dem en och en så blir det 12 steg. Om du tar 2 trappsteg i taget, så blir det 6 steg, att komma från 6 till 12 så ska du gångar med 2, det är "du" den inre derivatan. När du gör en variabel substitution, så ändras inte värdet,.bara att mäter i en annan enhet, eller tar dubbelsteg i trappan

Tackar ödmjukt för snabba svar. Tror att jag börjar greppa det något bättre. Är bara så van med att uttryck av typen d/dx endast används för att visa vilken variabel man räknar med avseende på. Ovant att behandla det som ett bråk plötsligt.

"Låt f(x) vara sådan att f(0)=b , f(1)=0 f'(x)=sin(x^3), beräkna int(0->1) av (x*f(x))" Ytterligare en uppgift om jag får vara så fräck... har använt samma tankemönster här och kommit fram till svaret ((X^2)*b)/3, ser det rätt ut eller har jag återigen gått ut och cyklat?

Kan försöka ge lite intuition till varför det fungerar. Om du tittar på funktionens graf så ser du att den oscillerar fortare och fortare i takt med att x ökar och blir därför svår att hantera. För att lättare kunna integrera den så parametriserar man om x-axeln, i detta fall genom att dra ut axeln så att oscillationerna blir periodiska (tänk att du drar ut grafen som ett dragspel). Detta är syftet med variabelbytet u=x^3.

Problemet är att om du försöker integrera över din nya x-axel där funktionen beter sig bättre så kommer värdet på integralen att bli alldeles för stort på grund av att du har ju gjort x-axeln mycket längre (integralen är ju arean under grafen, så förlänger du basen så kommer arean så klart att öka). Därför måste du kompensera genom att dela integranden med hur mycket du dragit ut x-axeln i varje punkt, det vill säga u'(x) = 1/3 x^2.

För att vara petig så är det inte ett bråk, utan en (väldigt bekväm) minnesregel. När du gör ett variabelbyte så använder du formellt likheten:

\int f(u(x)) u'(x) dx = \int f(u) du

Men u'(x) = du/dx, och om man "flyttar över" dx till andra sidan så får man u'(x) dx = du vilket i princip är innehållet i likheten ovan.

Det är dock inget fel att i praktiken hantera du/dx som ett bråk, så länge man är medveten om att det egentligen är fel och att du och dx endast har mening under ett integraltecken.