Ta reda på om dubbelintegralen konvergerar eller divergerar

∫₀^∞ ∫₀^∞ (x² + y²) / ((1 + x²) * (1 + y²)) dx dy

det är alltså dubbelintegralen för (x² + y²) / ((1 + x²) * (1 + y²)) i första kvadranten. Har försökt ett tag nu men känner mig helt lost. Några tips?

Chat GPT gör ett ganska bra jobb med att förklara det genom att dela upp o förenkla integralen. Man borde också kunna göra ett jämförelsetest

Har du testat med polära kordinater?

ChatGPT har fel;
är ej π/2… Den är divergent, vilket inses genom att skriva täljaren som 1+x^2–1, eller att integranden ->1 då x->oo.

AI brukar kunna ge lite olika svar, så det är inte alls säkert att alla får samma svar...

Ja jag testade med polära koordinater, men det blev krångligare. Tror det är enklast att bara säga att den är större än ∫₀^∞ ∫₀^∞ 1/2 dx dy och sedan visa att om den divergerar, divergerar också vår dubbelintegral eller nåt.

Man kan dela upp den i ∫₀^∞ ∫₀^∞ (x²) / ((1 + x²) * (1 + y²)) dx dy + ∫₀^∞ ∫₀^∞ (x² + y²) / ((1 + x²) * (1 + y²)) dx dy

Låt oss kalla ∫₀^∞ ∫₀^∞ (x²) / ((1 + x²) * (1 + y²)) dx dy för I

I = ∫₀^∞ (x²) / ((1 + x²)(∫₀^∞ 1/(1 + y²)) dx )dy. Men då den inre derivatan divergerar divergerar hela skiten. Likadant gäller för den andra.

Sjukt svårt att se vad jag skrivit dock.

när jag fråga chat så fick den spasm. Ibland är den bra men många gånger inte.

Bra där. Och det du kallar för I är ju halva integralen som du började med. I DEN dubbelintegralen har du ju ett uttryck på formen
J = ∫ ₀᪲ ∫ ₀᪲ (x²+y²)f(x²,y²)dxdy
= ∫ ₀᪲ ∫ ₀᪲ x²f(x²,y²)dxdy + ∫ ₀᪲ ∫ ₀᪲ y²f(x²,y²)dxdy
där
f(x²,y²) = 1/((1+x²)(1+y²))
är symmetrisk i x² och y², dvs f(x²,y²)=f(y²,x²). Efter ett enkelt byte av integrationsparametrar ser man att de två termerna är samma, dvs det du kallar för I. Dvs
J = 2 I

Ett tips: multipelintegraler blir mer lättlästa om man håller ihop integrationstecknet och differentialen, och så skriver man faktiskt också ofta, men dock av någon anledning mer sällan upp t o m grundkurserna. Skriv alltså I så här:
I = ∫ ₀᪲ dx ∫ ₀᪲ dy x²/(1 + x²)(1 + y²))
Detta kan dock förenklas till
I = (∫ ₀᪲ dx x²/(1 + x²)) * (∫ ₀᪲ dy/(1 + y²)) = K L
där K är x-integralen och L är y-integralen. Båda dessa kan man sedan undersöka konvergensen för. Om någon av dem divergerar så divergerar hela dubbelintegralen.

----
Som du märker har jag även meckat lite med unicode. Har en app för det i mobilen (UnicodePad i Android).
₀᪲ är SUBSCRIPT ZERO tillsammans med COMBINING INFINITY.

Ffa så förstår AI absolut ingenting av detta, och då kan det ju bli hur fel som helst. Det den faktiskt gör är ju att använda de massiva mängder data den fått i sin maskininlärning för att ta fram ett troligast svar. Den matematiska modellen för detta är en sorts linjär regression. AI förstår inte mer än vad Excel gör vid linjär regression.

Min tanke med polära kordinater var att nämnaren får som mest en r^4 term och nämnaren har en r^2-term, sen blir det en faktor r till pga båglängden. Låter som att det blir divergent med andra ord...

Jag tror detta, nedklottrat i all hast, kan ge uppslag;
https://mathb.in/80025