Optimeringsuppgift som påminner väldigt mycket om Snells lag

Säg att jag står på en strand, en liten bit bort från havet, och jag ser någonting en bit ute i havet som jag vill komma till så fort som möjligt (jag kanske behöver rädda någon från att drunkna, eller nåt i den stilen), och jag vill hitta en väg som gör att jag kan springa en rak sträcka på stranden, och sen simma en rak sträcka i havet, så att jag kommer till den där grejen i havet på en så kort tid som möjligt.
Jag gör antagandet att jag rör mig i två olika specifika konstanta hastigheter på stranden samt i havet.

Jag har tänkt mig att jag kanske kunde binda ihop min startposition, positionen där jag går från stranden till havet, och slutpositionen i en triangel, och sen skriva ned en ekvation där tiden beror på någon variabel x, och sen ta derivatan av den ekvationen för att hitta det x-värde som ger mig den kortaste tiden, men den metoden verkar alltid ge mig två variabler - exempelvis en sidolängd och en vinkel - och jag vet inte riktigt hur jag ska hantera den saken.
Jag har testat att ställa upp en massa sinus- och cosinusregler för att försöka bli av med en av variablerna, men det verkar inte fungera.

Det går bra, men det hade hjälpt med en bild…
Om v1 och v2, v1>v2, är hastigheterna och x är totala längden längs stranden och y avståndet ut i havet ges lösningar av

( (v1^2-v2^2)x ± Sqrt[v2^2 (v1^2-v2^2) y^2])/(v1^2-v2^2)

Jag har inte funderat närmare på vilken som är falsk men det visar sig med insatta värden.

Du anger ju själv problemets lösning i rubriken: Snells lag. Och då undrar du möjligen vad brytningsindex är i detta fall. Men i optik är den relaterad till hastigheten v i mediet med brytningsindex n via
v = c/n.

Byt nu bara ut c mot springhastigheten på stranden, så har du där alltså n=1. Och om v är simhastigheten så är ges n i havet av
n = c/v.

Och sen är det bara att tjoffa på med Snell med dessa värden för n, och med respektive vinklar på vanligt sätt!

Oops, upptäckte ett fel, fixar senare...

Har försökt med några ollka sätt nu att få fram ett slutet uttryck för en lösning, men detta är mycket met skitjobbigt än jag anade. Jag har utgått från Snells lag, och jag har även minimerat direkt med Lagrangemultiplikator, men nej... Man kan iofs få fram en ekvation med en variabel att lösa för, men det blir en rätt jobbig ekvation. Givet relevanta mätvärden, skulle jag nu lösa det numeriskt.

Kan det där verkligen stämma? Man har ju TVÅ y-avstånd: en ner till strandkanten, y1, och en från strandkanten till objektet, y2, men du har ju bara en y-variabel (y=y1+y2?).

Om jag minns rätt… i Calculus, åttonde utgåvan (Adams, Essex) finns en liknande exempeluppgift, dra dyr sjökabel och billig landkabel mellan fyr och samhälle. Något tidigt kapitel om differentialekvationer.

Återkommer i morgon, god natt!

Jag tolkade det som den typ av uppgift som ofta förekommer i Analys 1. Man springer längs stranden till en punkt då man börjar simma. Kanske detta är en annan form av uppgift?

Dvs nära strandkanten från början, dvs y1=0? Ja, det verkar ju rätt mycket lättare än det problem jag tänkte mig och som jag tolkar TS.

Med Snells lag
(1/v1) sin θ1 = (1/v2) sin θ2
har man då att normalvinkeln för stranddelen är θ1=90°, så lagen ger nu
sin θ2 = v2/v1 .
x-avståndet för den simmade delen blir alltså
x2 = y2 tan θ2 = y2 sin θ2 / cos θ2
= y2 sin θ2 / √(1 - sin²θ1) = y2 (v2/v1)/√(1 - (v2/v1)²)
= y2 v2 / √(v1² - v2²)
...
Om jag räknat rätt.

---
Verkar f ö vara samma som din lösning för x1 (?) med minustecken och med y2=y, och x1=x-x2.

Kapitel 4, More Applications of Differentiation, sida 216, exempel 3:

A lighthouse L is located on a small island 2 km from the nearest point A on a long, straight shoreline. If the lighthouse lamp rotates at 3 revolutions per minute, how fast is the illuminated spot P on the shoreline moving along the shoreline when it is 4 km from A?

Skitbra, började skriva av innan jag läst klart, det var fel exempel...
Läste vidare och hittade, i samma kapitel, sida 259, exempel 2:

A lighthouse L is located on a small island 5 km north och a point A on a straight east-west shoreline. A cable is to be laid from L to point B on the shoreline 10 km east of A. The cable will be laid in through the water in at straight line from L to a point C on between A and B, and from there to B along the shoreline. The part of the cable lying in the water costs $5000/km, and the part along the shoreline costs $3000/km.

A: Where should C be chosen to minimize the total cost of the cable?

B: Where should C be chosen if B is only 3 km from A?

Exemplet ligger i delen Exterme-Value Problems. Mer info i morgon.
Skål!

Sammanfattning av lösningen på A-frågan:
Anta att C ligger x km från Ai riktning mot B: 0≤x≤10
LC: sqrt(25+x^2 )
CB: 10-x
Kostnaden T: T(x)=5000*sqrt(25+x^2)+3000(10-x)
Nästa steg:
vilket ger att punkten C ska ligga 3,75 km från A.

Tips från boken: Rita upp problemet.

Tips från mig: Fundera på hur grafen för kostnaden ser ut, och gör en enkel skiss. Mata sedan in den i något grafritande och se om du hade rätt.

Ska man lösa TS uppgift, man står på en strand en bit från havet (S) och ska till en punkt (H) i havet, så funkar följande.

Rak strandlinje, hastighet på strand = vs, hastighet i hav = vh.

A är den punkt på vattenlinjen som är närmast S, B är den punkt på vattenlinjen som är närmast H. Man flyttar sig från strand till hav vid punkten C, mellan A och B, på avståndet x från A.

Avståndet SC = sqrt(SA^2 + x^2)

Tid som behövs för SC = sqrt(SA^2 + x^2) / vs

Avståndet CH = sqrt(BH^2 + (AB-x)^2)

Tid som behövs för CH = sqrt(BH^2 + (AB-x)^2) / vh

Tid som behövs för SCH: sqrt(SA^2 + x^2) / vs + sqrt(BH^2 + (AB-x)^2) / vh

SA, AB, BH, vs och vh är alla kända.

Exempel:
TS är 25 meter från vattenlinjen, SA = 25 meter.
100 meter ut i vattnet, och 50 meter längre bort på stranden, drunknar någon, AB = 50 meter, BH = 100 meter.
TS springer 6 meter per sekund på strand och simmar 2 meter per sekund i hav, vs = 6 meter per sekund, vh = 2 meter per sekund.
Tid för att nå den drunknande: sqrt(25^2 + x^2)/6 + sqrt(100^2 + (50-x)^2)/2

Snabbaste förflyttningen tar alltså ca 57,4 sekunder och inträffar när man går i vattnet ca 25,55 meter från A.
Skulle man springa till A och simma därifrån skulle det ta nästan 60,1 sekunder. Springer man till B och sedan simmar tar det lite mer än 59,3 sekunder.

Att räkna ut och skriva det här tog lite mer än 120 sekunder.


Jag hade ingen aning om vad Snells lag är, men när jag läste på Wikipedia insåg jag att det var den vanliga grejen om brytningsindex. I artikeln nämns ett exempel liknande TS fråga.

Det där verkar ju rimligt och inte alls orimligt svårt. Måste ha gått vilse lite grann med Snell.