Citat:
Ursprungligen postat av
hannesborell
Hej! Jag har suttit och grubblat över en uppgift ett bra tag nu, men jag får fram fel svar hela tiden!
1. Beräkna diametern d hos en massiv stålaxel som skall överföra effekten 50kW när axeln roterar 120 varv/min, om den tillåtna vridskjuvspänningen är 40N/mm2 och den tillåtna förvridningen är ¼° per meter axel. Materialets skjuvmodul G=80000N/mm2.
Svaret som ges är att diametern ska vara 104mm. Kan någon visa hur man kommer fram till det svaret?
Formler:
[; P = M\cdot \omega ;] där P är effekten i Watt, M är vridmomentet i Nm och [;\omega;] är vinkelhastigheten i rad/s.
[; K = \frac{M}{G\cdot \frac{\Theta}{L}} = \frac{\frac{P}{\omega}}{G\cdot \frac{\Theta}{L}} ;]
[; \Theta = \frac{M\cdot L}{G\cdot K} ;] där [; \Theta ;] är förvridningen i radianer, L är längden i meter, G är skjuvmodulen i [; N/m^2 ;] och K är vridstyvhetens tvärsnittsfaktor i [; m^4 ;].
[; \tau = \frac{M}{W} ;] där [; \tau ;] är maximala skjuvspänningen och W är vridmotståndet.
[; K = \frac{\pi}{32}D^4 ;] där D är diametern i m.
[; W = \frac{\pi}{16}D^3 ;]
Med hjälp av ovanstående formler beräknas D:
[; P = 50\cdot 10^3 Nm,\, \omega = 2\pi \frac{120}{60} = 4\pi \, rad/s ;]
[; K = \frac{\pi}{32}D^4 = \frac{\frac{P}{\omega}}{G\cdot \frac{\Theta}{L}} ;]
[; \frac{\Theta}{L}} = \frac{1}{4}\cdot \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{720};]
[; D =\sqrt[4]{ \frac{32}{\pi} \frac{\frac{50000}{4\pi}}{80000\cdot 10^6\cdot \frac{\pi}{720}}} = \sqrt[4]{\frac{32\cdot 180\cdot 50}{80\cdot \pi^3 \cdot 10^6}} \approx 0,1038 \,m \approx 104\, mm;]
Maximala skjuvspänningen kontrolleras så att den inte överskrider tillåtet värde:
[; \tau = \frac{M}{W} = \frac{16\cdot M}{\pi D^3} = \frac{16\cdot \frac{50000}{4\pi}}{\pi \cdot 0,1038^3} = \frac{200000}{\pi^2 \cdot 0,1038^3} \approx 18,12 \cdot 10^6 N/m^2 ;]
[; 18,12 \cdot 10^6\,N/m^2 = 18,12 \,N/mm^2 ;] vilket är lägre än den tillåtna skjuvspänningen.
