Diofantisk lösnign

Hej

Jag får inte bukt med den här ekvationen:

43x+19y=4


kör Eukildes:

43=2*19+5
19=3*5+4
5=1*4+1

Baklänges:

1=5-(1*4)
4=19-(3*5)
Bakar in ekvationen i första;

1=5-(19-3*5)

Sen här blir det lite osäkert, hur ska jag fortsätta?

Forts.
1=5-19+3*5=4*5-19
1=4*(43-2*19)-19=4*43-8*19-19=4*43-9*19

4*1=4*(4*43-9*19)=16*43-36*19, och vi har därmed fått en lösning till ekvationen.

Se min fetstil där uppe.

Förkara gärna som om jag är rå noob, för jag fattar fasiken inte det här

4an kommer från 3*5+5 som är lika med 4*5
8an kommer från 4*2*19=8*19

Sista steget;

=4*43-9*19 vart kommer 9an ifrån då?

-8*19-19=-9*19

Ahh okej.

4 an & 9an slussas in i ursprungsekvationen sedan.

Vart har du hittat denna?

jag tycker inte jag ser den varken hos Euklides eller Eukilides-baklänges.

43x+19y=4

Det förenklar om man är systematisk samt markerar "basen" i fet stil (och koefficienter i normal):
43 = 2 * 19 + 5 { Eq. 1 }
19 = 3 * 5 + 4 { Eq. 2 }
5 = 1 * 4 + 1 { Eq. 3 }

Omvänt:
1 = { Eq. 3 } = 5 - 1 * 4
= { Eq. 2 } = 5 - 1 * (19 - 3 * 5)
= { samla termer } = 4 * 5 - 1 * 19
= { Eq. 1 } = 4 * (43 - 2 * 19) - 1 * 19
= { samla termer } = 4 * 43 - 9 * 19

Nu har vi alltså fått fram 1 = 4 * 43 - 9 * 19.
Från detta kan vi dra slutsatsen att (x, y) = (4, -9) är en lösning till 43 x + 19 y = 1.
Därmed är (x, y) = 4 * (4, -9) = (16, -36) en lösning till 43 x + 19 y = 4.
Denna lösning kan kallas en partikulärlösning.

Till partikulärlösningen kan läggas en homogenlösning, dvs en lösning till 43 x + 19 y = 0.
Dessa ges av (x, y) = (19 n, -43 n).

Samtliga lösningar ges därmed av (x, y) = (16, -36) + (19 n, -43 n) = (16 + 19 n, -36 - 43 n).

Jag är med på hela skiten, förutom att få fram x0 och y0 (har sett tusen youtube-vids)

http://www.ladda-upp.se/bilder/txmbdaaflzdcvj/ så här har jag gjort, men är det rätt? för jag fattar inte hur jag ska ta mig vidare.

Det gäller ekvationen

114x+303y=3

som jag har förkortat med 101x+38y=56