Optimeringsuppgift som påminner väldigt mycket om Snells lag

Ska man lösa TS uppgift, man står på en strand en bit från havet (S) och ska till en punkt (H) i havet, så funkar följande.

Rak strandlinje, hastighet på strand = vs, hastighet i hav = vh.

A är den punkt på vattenlinjen som är närmast S, B är den punkt på vattenlinjen som är närmast H. Man flyttar sig från strand till hav vid punkten C, mellan A och B, på avståndet x från A.

Avståndet SC = sqrt(SA^2 + x^2)

Tid som behövs för SC = sqrt(SA^2 + x^2) / vs

Avståndet CH = sqrt(BH^2 + (AB-x)^2)

Tid som behövs för CH = sqrt(BH^2 + (AB-x)^2) / vh

Tid som behövs för SCH: sqrt(SA^2 + x^2) / vs + sqrt(BH^2 + (AB-x)^2) / vh

SA, AB, BH, vs och vh är alla kända.

Exempel:
TS är 25 meter från vattenlinjen, SA = 25 meter.
100 meter ut i vattnet, och 50 meter längre bort på stranden, drunknar någon, AB = 50 meter, BH = 100 meter.
TS springer 6 meter per sekund på strand och simmar 2 meter per sekund i hav, vs = 6 meter per sekund, vh = 2 meter per sekund.
Tid för att nå den drunknande: sqrt(25^2 + x^2)/6 + sqrt(100^2 + (50-x)^2)/2

Snabbaste förflyttningen tar alltså ca 57,4 sekunder och inträffar när man går i vattnet ca 25,55 meter från A.
Skulle man springa till A och simma därifrån skulle det ta nästan 60,1 sekunder. Springer man till B och sedan simmar tar det lite mer än 59,3 sekunder.

Att räkna ut och skriva det här tog lite mer än 120 sekunder.


Jag hade ingen aning om vad Snells lag är, men när jag läste på Wikipedia insåg jag att det var den vanliga grejen om brytningsindex. I artikeln nämns ett exempel liknande TS fråga.

Kollade lite mer, och det blir ju fortfarande en fjärdegradare att lösa om man vill göra det exakt. Men visst, givet siffror kan man ju lösa det snabbt numeriskt med t ex en grafräknare.

Snells lag är väl i praktiken ganska meningslös för sådant här?

I lagen används två brytningsindex och två vinklar, totalt fyra värden,
I ljusfallet bör en hel del vara känt, vet man bara vinklarna så kan man räkna ut förhållandet mellan brytningsindexen och vet man tre av. värdena så kan man räkna ut det fjärde.
I livräddningsfallet bör endast brytningsindexen (hastigheterna) vara kända, man kan då endast räkna vilken riktning man ska simma i givet vilken punkt man sprang till. Fast om man sprang till fel punkt så kommer man då att simma till fel punkt.

Jo, men det är just där det blir en ekvation, dvs för att träffa rätt punkt, men den blir lika jobbig som med ditt förslag.

En ekvation med lite väl många okända värden jämfört med ljusfallet.

Springhastighet (känd) * sin(springvinkel (okänd)) = simhastighet (känd) * sin(simvinkel (okänd))

Simvinkeln har en känd relation till springvinkeln via Snell, så det blir bara en okänd. Och så skriver du Snell fel, det ska vara
sin(θ1)/v1 = sin(θ2)/v2 .
(I originalet är det n1 sin(θ1) etc, men tänk på att n1=c/v1 etc.)

Hur använder man detta för att få fram ett ekvation för en variabel? Här är ett sätt:
För båda vinklarna gäller att
sin(θi) = xi/si = xi/√(xi²+yi²)
så Snell ger nu
(1/v1) x1/√(x1²+y1²) = (1/v2) x2/√(x2²+y1²)
där vi ju har att
x2 = x - x1
(villkoret för att träffa rätt).
En ekvation med en oberoende variabel.
Och händelsevis samma ekvation som det blir med din direkta minimering.

Notera dock att det blir en rotekvation. När vi löser den måste vi kvadrera båda sidor och då landar vi i en 4e-gradare.

Det bör väl gå bra att derivera utan att först kvadrera? Oberoende variabel?