Uppgift angående sönderfall

Partikeln A med viloenergin 20 MeV sönderfaller till partikeln B med viloenergin 9 MeV samt en masslös partikel C. Vilken energi har partikel C i vilosystemet för partikel B? Avrunda ditt svar till hela MeV!

Läxhjälp ges inte här. Se https://tp.hotell.kau.se/marcus/note...ysik_avanc.pdf för metoder.

0? En masslös partikel i vila har väl ingen energi? Obs, jag har egentligen ingen aning.

Sommarkurs i relativitetsteorin?

Energin och rörelsemängden är bevarade, vilket sammanfattas med att det totala 4 momentum
P = (E,p)
är bevarad, där vi använder enheter med c=1, och där E och p är partikelns totala energi (inkl vilomassa) resp rörelsemängd i det valda referenssystemet. Om vi betecknar resp 4-momemtum med Pa, Pb resp P0 så har vi alltså att

Pa = Pb + P0

Dessutom har vi varje partikels vilomassa, dvs (med Minkowskimetriken) har vi att

Pa² = ma²
Pb² = mb²
P0² = 0 .

Den efterfrågade energin kan skrivas som (läs kursmaterialet för motivering):

E0 = P0·Pb/mb

Kvadrerar vi bevarandelagen för P har vi alltså att

Pa² = Pb² + P0² + 2 Pb·P0
ma² = mb² + 0 + 2 mb E0
dvs
E0 = (ma² - mb²)/(2 mb)
= (20² - 9²)/(2·9)
= 17.72 = ca 18 MeV

Danka Schön

Gillade du inte min lösning, eller stämmer den inte med facit, har du frågor om den, eller vad? Någon sorts reaktion vore ju najs, om det ska kännas värt att ta sig an något mer.

Jag gillade lösningen

Rätt svar är Ec = (ma²–mb²)/(2ma) = (20²–9²)/(2*20) = 7.98 MeV

Att det skulle vara ca 18 MeV för partikel C är en omöjlighet eftersom energin i systemet är maximalt 20 MeV och partikel B redan tagit 9 MeV i vilomassa. Det finns sedan 11 MeV kvar, varav 3.02 MeV går till momentum för partikel B.

Det är absolut möjligt att jag har tänkt och räknat fel, men det är iaf helt säkert att du tänker fel här.

Det är 20 MeV från början i partikel As referenssystem. Alltså måste det ju vara sammanlagt 20 MeV även efter sönderfallet -- i As referenssystem.

Men nu handlar ju uppgiften om partikel Cs energi i Bs referenssystem.

B, som har mindre än halva As vilomassa, kommer att röra sig med relativistisk fart relativt As referenssystem, och samma gäller då alltså även för hur A rör sig relativt Bs referenssystem, vilket betyder att As energi relativt B kommer att vara mycket större än 20 MeV.

Fortsättning.

Om jag har räknat rätt med 18 MeV för C relativt B, och eftersom Bs egen energi är 9 MeV relativt B, så måste hela systemets energi vara 18+9=27 MeV relativt B.

Stämmer detta? Vi kollar. Eftersom systemets fyrmomentum (och därmed energi) finns i partikel A innan dess sönderfall, så kommer den totala energin relativt B att ges av
Etot = Pa·Pb/Mb
Eftersom Pc² = 0 så ger en kvadrering av identiteten
Pc = Pa - Pb
att
0 = Pa² + Pb² - 2 Pa·Pb
= Ma² + Mb² - 2 Pa·Pb
dvs att
Pa·Pb = (Ma² + Mb²)/2
och därmed att
Etot = (Ma² + Mb²)/(2 Mb) = (20² + 9²)/(2·9) = 26.72 ≈ 27 MeV .

---
Hoppsan, märker nu att jag har ändrat beteckningen för partikel Cs fyrmomentum från P0 till Pc, men i ö ska allt ovan stämma.

Ska kanske också påpekas att jag räknar med en +--- signatur på metriken, så att att tidsartade fyrverktorer, som t ex fyrmomenta, har positiva kvadrater (istället för negativa). Minns inte vilket val kursen gör, men även om man använder -+++ så ska slutresultaten (t ex energier) förstås ändå bli samma.

Hur hög fart v som B har relativt A, eller tvärtom, kan också beräknas från det föregående resultatet, som ju gav As energi relativt B till 26.72 MeV.

As energi (inkl viloenergi) relativt B ges ju av
Ea = Ma c²/√(1 - (v/c)²) .
där Ea = 26.72 MeV, Ma c² = 20 MeV, och v/c är hastigheten som andel av öjushasrigheten. Löser vi för v/c får vi
v/c = √(1 - (Ma c²/Ea)²) = √(1 - (20/26.72)²) = 0.66
dvs 66 % av ljushastigheten.

Slutligen -- var kommer då din formel ifrån? Gissar som sagt att det är Cs energi relativt A, dvs
Ec = Pc·Pa/Ma .
Kollar!

Pb = Pa - Pc
Pb² = (Pa - Pc)²
Pb² = Pa² + Pc² - 2 Pa·Pc
Mb² = Ma² + 0 - 2 Pa·Pc
Pa·Pc = (Ma² - Mb²)/2
vilket ger
Ec = (Ma² - Mb²)/(2 Ma)
dvs din formel...