Sannolikhetsfunktionen för x=tan(z)

Oj, det var en klurig uppgift ändå.

Jag förstår atan-derivatan och fördelningen för f_X(x)=1/pi

Men varför kan man säga att:

F_X(x(z)) = F_Z(z(x)) ?

Borde inte olika variabler ha olika täthetsfunktioner?

Ja, X och Z har ju de olika fördelningsfunktionerna F_X(x) och F_Z(z).

Men om X och Z hänger ihop via någon monoton funktion så kommer ju en fördelning för t ex Z även ge en fördelning för X. Om det t ex är 75 % chans för Z ska vara under något värde z, så måste det ju också vara 75 % chans för att X ska vara under morsvarande x=x(z) (om denna funktion är monotont växande).

Dvs om
P(Z≤z) = F_Z(z)
så måste (om z(x) växer monotont)
P(X≤x) = F_Z(z(x)) .
Och eftersom F_X(x) definieras enl
P(X≤x) = F_X(x)
så följer av de två sista uttrycken att
F_X(x) = F_Z(z(x)) .

Låt \(Z\) vara en kontinuerlig s.v. med \(Z\in\mathrm{U}(-\pi/2,\pi/2)\).

Sätt \(X=\tan(Z)\) där \(x\in\mathbb{R}\).

Vi har att
\begin{align*}
F_X(x)
&
=P[X\le x]
=P[\tan(Z)\le x]
=P[-\pi/2 < Z\le \arctan(x)]
\\
&
=\int_{-\pi/2}^{\arctan(x)}\!f_Z(z)\,\mathrm{d}z
=\int_{-\pi/2}^{\arctan(x)}\!\frac{1}{\pi}\,\mathrm{d}z
\\
&
=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi/2}^{\arctan(x)}\!1\,\mathrm{d}z
=\frac{1}{\pi}\Bigl(\arctan(x)+\frac{\pi}{2}\Bigr)
\\
&
=\frac{1}{\pi}\arctan(x)+\frac{1}{2}, \qquad x\in\mathbb{R},
\end{align*}
vilket ger
\[
f_X(x)
=F'_X(x)
=\frac{1}{\pi}\cdot\frac{1}{1+x^2}, \qquad x\in\mathbb{R}.
\]

Snyggt! Det här svaret gillar jag!

Jag gillar att du är noga med stora och små variabler ,och gränserna, så att man förstår allt! Tack!

Hade det kommit på en tenta hade jag dock nog failat på att lösa olikheten tan(z)=<x. Det är läskigt med olikheter, särskilt om de innehåller trigonometriska funktioner.

För det andra hade jag inte vågat integrera med z. Det ligger en varningsklocka i bakhuvudet som säger åt mig att inte integrera variabler om de beror av någon annan variabel. Har fått fel många ggr förr när jag integrerat utan att tänka på om den är beroende eller inte...obefogad rädsla?

Tack. Trevligt att läsa.

Korrekt notation hjälper ofta förståelsen och "överblicken".

Iom definitionsområdet för \(Z\) är begränsat blir olikheten "enkel". Vi behöver inte ta hänsyn till någon period. Rita gärna en skiss på grafen (W.A.) och något fiktivt värde på \(x\) (i det här fallet \(x=3\)) så kanske det blir lite enklare att tolka och behandla olikheten. Eftersom \(\tan\)-funktionen är strängt växande på intervallet händer inget otyg på vägen när man tar fram inversen.

Så fort vi "landat" i \(P[\ldots Z \ldots]\) så är vi på "trygg mark". Då gäller definition av sannolikhet för en kont. s.v. vilket är integration av tillhörande täthetsfunktion \(f_Z(z)\). På liknande sätt beräknas väntevärde, varians m.m. (har dock inget med den här uppgiften att göra, annat än att även dessa beräkningar använder sig av täthetsfunktionen \(f_Z(z)\).)