Värdemängden av f(x)=1/(sqrt((3^-x))-81)

Hej, håller på att tentaplugga och har fastnat på detta. Alltså värdemängden av f(x)=1/(sqrt((3^-x))-81). Svaret ska vara 0<x≤∞ men förstår inte varför det inte kan vara negativt? Exempelvis säger man ju att roten ur 9 är ±3, så varför är inte roten ur 3^-x -81 också ±? Tacksam för all hjälp

Vad är definitionsmängden?

Den blir ju -∞<x<-4 för att få positivt svar i och ≠0 i roten ur

Standard-konventionen (som ligger till grund för matematisk analys) definierar roten ur ett positivt tal som ett annat positivt tal, så om x alltid är negativt (x<-4) så blir ju roten alltid ur ett positivt tal givet funktionen, och du får därmed en positiv rot.

Okej, men när man räknar algebraiskt, brukar man inte använda ± då?

√9 = 3, inte -3.
Blanda inte ihop detta med att ekvationen x²=9 har lösningarna x=±√9=±3.

För reella positiva tal x definieras √x som det positiva tal vars kvadrat är lika med x, precis som på din räknare. För negstiva eller komplexa x beror svaret på hur man väljer "branch cut" i det komplexa talplanet.

--
Puck-tvåa

Ahhh, rimligt. Tack!!!

x²=y har lösningarna √y och -√y

Som @nerdnerd skriver, detta är ej detsamma som att en ekvation har flera lösningar. För reella positiva tal är konventionen att dess rötter även de är reella positiva tal.

Drar du t.ex. en fjärderot ut ett visst tal (t.ex. 81) så får du då enbart 3, inte de tre andra lösningarna −3, 3i, -3i.

Med andra ord, går du från definitionsmängd till värdemängd t.ex. f(x) = x^2 = 9 så får du x = 3 och x = -3 men åt motsatt håll, dvs. från värdemängd till definitionsmängd t.ex. f(x) = x^0.5; x = 9 så får du inte multipla värden på värdemängden utan enbart ett värde (3).


Se ovan.

En liten korp, du har rätt i att f(x) du anger har värdemängden ±∞. Kring singulariteten f(-8) går funktionen åt +∞ när man närmar sig från vänster, och åt –∞ från höger:

f(x)=1/(sqrt((3^-x))-81)
definitionsmängd: x ∈ R, x ≠ –8
värdemängd: y ∈ R, y ≠ 0

Flyttas en parentes förändrar det däremot funktionen. Kan vara ett tryckfel i boken, och facit avser funktionen g(x) nedan:

g(x)=1/(sqrt((3^-x)-81))
definitionsmängd: –∞ < x < –4
värdemängd: 0 < y < +∞

Funktionen g(x) har en singularitet g(-4) och större x-värden ger imaginära tal. Eftersom hela nämnaren är en rot här kan funktionen aldrig bli negativ.

Tack!! Hade tenta nyligen, hoppas verkligen den löste sig.

Det är viktigt man gör skillnad mellan en funktion och en ekvation, t.ex.funktionen: h(x) = x² – 3

Får man nollställena h(x)=0 genom att lösa ekvationen:
x² – 3 = 0
x² = 3
x = ±√3

Att använda y här är fel, det är när man plottar en funktion du får en y-axel. En ekvation är för enskilda värden på funktionen.